De contar objetos a construir conjuntos 

Los primeros números que aprendemos a reconocer son los naturales, indispensables para comunicarnos con precisión. Más adelante surge la necesidad de ampliar ese universo: aparecen los enteros, que incorporan los números negativos, y los racionales, que permiten representar fracciones y proporciones. También descubrimos otros conjuntos menos habituales pero fundamentales, como los irracionales, que completan el conjunto de los reales con valores que no pueden expresarse como una fracción.

El salto conceptual más notable llega con los números imaginarios y, en general, con los complejos, que amplían el ámbito de las soluciones posibles y permiten abordar problemas más generales. Cada nuevo conjunto numérico no reemplaza a los anteriores: los contiene y los extiende.

Y dentro de todos esos conjuntos existen algunos subconjuntos que despiertan especial interés, como es el caso de los números primos, y otros menos famosos, como el de los trascendentes, pero también los hay bastante curiosos y menos conocidos. De uno de estos últimos justamente les quiero hablar en esta nota. Se trata de los Conjuntos de Sidon, que son los conjuntos de números enteros positivos con la propiedad de que todas las sumas de dos elementos del conjunto son distintas. 

Por ejemplo, el conjunto

$\{1, 3, 5, 11, 15, 22\}$

no es un conjunto de Sidon, pues aparecen sumas repetidas de dos elementos del conjunto:

$1 + 15 = 5 + 11.$

En cambio, el conjunto

$\{1, 2, 4, 8, 13, 21\}$

sí es un conjunto de Sidon, porque todas las sumas de dos de sus elementos son distintas entre sí. Estos conjuntos recibieron su nombre en honor al matemático húngaro Simon Sidon, quien introdujo este concepto en el contexto de sus investigaciones sobre las series de Fourier.

En 1932, Sidon planteó a uno de sus alumnos —quien más tarde se convertiría en el destacado matemático Paul Erdős— el siguiente problema:

¿Cuál es el mayor tamaño posible de un conjunto de números enteros positivos, todos ellos menores que un número dado, en el que todas las sumas de dos elementos del conjunto sean distintas entre sí?

Este problema aritmético, con un marcado sabor combinatorio, cautivó al joven Erdős y se convirtió desde entonces en uno de sus temas recurrentes de investigación. Construir conjuntos de Sidon no es difícil; lo verdaderamente interesante es hacerlo, tal como plantea el problema, con el mayor número posible de elementos.

Si intentamos, por ejemplo, seleccionar la mayor cantidad de enteros positivos entre los 35 primeros de manera que todas las sumas de dos de ellos sean distintas, no tendremos dificultad en elegir unos pocos, pero las restricciones se vuelven cada vez más severas a medida que añadimos nuevos elementos. Para este caso —los 35 primeros enteros positivos— puede demostrarse que el conjunto

$\{1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35\}$,

de solo ocho elementos, es un conjunto de Sidon de tamaño máximo.

Existe una cota muy fácil de recordar para el tamaño máximo de los conjuntos de Sidon cuyos elementos son menores que un número $n$. Es decir, para estimar cuántos enteros positivos pueden elegirse entre los primeros $n$ de modo que todas las sumas de dos de ellos sean distintas. Aunque su demostración escapa al alcance de esta nota, la cota puede expresarse de manera muy compacta como:

$|A| \leq \sqrt{2n} + 1$.

Una cota más refinada se obtiene mediante

$|A| \leq \sqrt{n} + \sqrt[4]{n} + 1,$

que ajusta mejor el crecimiento real del tamaño máximo de estos conjuntos.

Desde la aparición de estos conjuntos surgió de inmediato la pregunta por su posible generalización: qué ocurre si se permite que haya dos sumas iguales, o incluso tres. Este problema, que permaneció abierto durante casi ochenta años, fue resuelto en 2010 por tres matemáticos: los españoles Javier Cilleruelo y Carlos Vinuesa, y el húngaro Imre Ruzsa.

Recientemente se han encontrado aplicaciones de los conjuntos de Sidon en las telecomunicaciones, en particular en el diseño de radares, sonares y detectores de señales que pueden identificarse mediante cambios de frecuencia. 

Los conjuntos de Sidon son un buen ejemplo de cómo ciertos conceptos matemáticos, surgidos de preguntas puramente teóricas, pueden desarrollarse hasta generar trabajos profundos y, al mismo tiempo, aplicaciones insospechadas.

@MantillaIgnacio