La ilusión de los polinomios generadores de primos

Frecuentemente he mencionado ejemplos que muestran cómo los números primos despiertan entusiasmo y representan un reto permanente que ha impulsado el desarrollo de diversas áreas de las matemáticas. Esa misma fascinación explica que, cada cierto tiempo, circulen noticias sobre supuestos descubrimientos o aplicaciones sorprendentes que captan la atención del público. Sin embargo, junto con los avances reales, también se difunden con rapidez —especialmente en redes sociales— afirmaciones infundadas, exageradas o directamente falsas. En matemáticas, como en otros campos, las fake news existen y pueden propagarse sin filtro alguno, por lo que conviene mantener una actitud crítica y verificar cualquier contenido antes de contribuir a su propagación.

Un ejemplo de este fenómeno es el que quiero compartirles, subrayando que, en matemáticas, incluso cuando un anuncio no sea estrictamente falso, presentar como profundo lo que en realidad es trivial constituye también una forma de engaño. Esa estrategia puede inducir a los incautos a elevar a la categoría de teorema lo que no pasa de ser un simple ejemplo, generando una ilusión de descubrimiento donde no la hay.

Un interés especial dentro de la comunidad matemática ha sido, desde hace siglos, el deseo de contar con un generador de números primos, como si fuera posible construir o descubrir una máquina capaz de producirlos todos —o al menos una cantidad significativa— de manera sistemática. La idea resulta seductora: un mecanismo que, introduciendo ciertos parámetros, entregue una sucesión inagotable de primos sin necesidad de recurrir a pruebas de divisibilidad ni a algoritmos complejos. Sin embargo, esa aspiración ha chocado una y otra vez con la realidad matemática: aunque existen fórmulas y procedimientos que generan algunos primos, ninguno de ellos produce todos los primos ni evita la aparición de números compuestos; es decir, números que no son primos.

Hace un tiempo me encontré con un mensaje en una red social que literalmente decía:

“$x^{2} – 2999x + 2248541 \text{ produces 80 primes from } x = 1460 \text{ to } 1539$“.

Por supuesto, mi interés en ese anuncio me llevó a examinar el polinomio y a verificar tan sorprendente afirmación. Ese ejercicio, y lo que descubrí al hacerlo, fue precisamente lo que me motivó a escribir este artículo.

Empiezo por recordar que fue Leonhard Euler (1707–1783) quien dio a conocer el siguiente sencillo polinomio de segundo grado, con coeficientes enteros,

$P(n) = n^{2} + n + 41$

el cual genera 40 números primos distintos cuando $n$ toma valores desde 0 hasta 39. Durante mucho tiempo no se conoció ningún polinomio cuadrático que superara ese registro, hasta que G. Fung y R. Ruby descubrieron en 1990 el polinomio

$F(n) = 36n^{2} – 810n + 2753$

que produce 45 primos para $0 \le n \le 44.$

Y, hasta donde yo sabía, no existía ningún polinomio de segundo grado con coeficientes enteros que generara más primos que este último. Por eso, encontrarme con el anuncio de un polinomio que supuestamente produce 80 números primos resultaba, al menos en apariencia, un avance extraordinario, más aún considerando que incluso se han organizado concursos en internet dedicados a buscar polinomios generadores de números primos.

Pero no es así. En realidad, aunque el anuncio no contiene ninguna falsedad explícita, sí resulta engañoso: efectivamente, el polinomio produce 80 números primos, pero no 80 primos distintos. Lo que hace es generar dos veces los mismos 40 primos que ya produce el polinomio de Euler. La secuencia completa no es más que una lista simétrica:

$1601,\, 1523,\, 1447,\, \ldots,\, 47,\, 43,\, 41,\, 41,\, 43,\, 47,\, \ldots,\, 1447,\, 1523,\, 1601.$

Y, además, esto no tiene nada de especial. De hecho, se observa fácilmente que un polinomio aún más simple que el anunciado —el propio polinomio de Euler con dos signos cambiados— también genera esos mismos 80 valores primos. Se trata de

$Q(n) = n^{2} – n – 41,$

y basta con tomar $n$ entre $-39$ y $40$ para obtener exactamente la misma lista duplicada.

Pero aprovecho para mencionar que la simetría aparece por una razón matemática muy simple y muy bonita: el polinomio es cuadrático y su eje de simetría pasa exactamente por el punto medio del intervalo donde se evalúa. Eso hace que los valores que produce al evaluar $n$ y al evaluar su «reflejo» respecto a ese eje sean idénticos.

En el caso del polinomio

$Q(n) = n^{2} – n – 41,$

su eje de simetría está en

$n = \frac{1}{2},$

y el intervalo que consideramos,

$-39 \le n \le 40,$

está perfectamente centrado en 0.5. Por ello, $Q(n)$ y $Q(1-n)$ producen el mismo valor, duplicando así los 40 primos del polinomio de Euler.

La “magia” no está en el polinomio, sino en la simetría del intervalo. Cualquier polinomio cuadrático que replique los valores de Euler y se evalúe en un intervalo simétrico producirá exactamente el mismo efecto: duplicar los mismos 40 primos conocidos.

Y es fácil construir tantos polinomios como se quiera con esta misma propiedad. Basta reemplazar $n$ por $(n-a)$ en el polinomio de Euler, para cualquier número $a \ge 1$. Por ejemplo, si tomamos $a=40$, obtenemos el polinomio

$R(n) = n^{2} – 79n + 1601,$

el cual arroja los mismos 80 números primos cuando $n$ toma valores desde 0 hasta 79.

Por lo tanto, el polinomio citado al inicio —presentado como una gran noticia— no es más que uno entre los infinitos que pueden construirse con esa misma propiedad. En efecto, basta elegir $a = 1500$ en el procedimiento antes descrito para obtener exactamente el polinomio del anuncio.

Para complementar la información sobre el tema, conviene añadir que en la búsqueda de este tipo de polinomios aparecen los llamados «números afortunados de Euler»: números enteros positivos $m$ que cumplen la condición de que, para todos los enteros positivos $k$, el polinomio

$k^{2} – k + m$

produce un número primo. Se puede demostrar que los «números afortunados de Euler» son únicamente seis:

$2,\; 3,\; 5,\; 11,\; 17,\; 41.$

La verificación para $m=3$ por ejemplo, se hace con los valores de $k = 1,\; 2.$

1. Para $k=1$

   $1^{2} – 1 + 3 = 1 – 1 + 3 = 3.$

   3 es primo.

2. Para $k=2$

   $2^{2} – 2 + 3 = 4 – 2 + 3 = 5.$

   $5$ es primo.

Como ambos valores obtenidos son primos, queda verificado que $m=3$ es efectivamente un número afortunado de Euler.

Una pregunta natural es si puede existir un polinomio no constante, con coeficientes enteros, que tome exclusivamente valores primos. La respuesta es no: cualquier polinomio de ese tipo, si se evalúa en todos los enteros, necesariamente produce infinitos valores compuestos.

Por lo tanto, la aparición de fake news matemáticas que prometen maravillas —como polinomios «milagrosos» que generan grandes cantidades de números primos— no debe engañarnos.

La matemática es sutil, pero también implacable: lo que parece un milagro casi nunca pasa de ser una ilusión.

@MantillaIgnacio